Real Halfspaces
Definition
For any $a \in \R ^n$ and $\alpha \in \R $,
the sets
\[
\Set{x \in \R ^n}{a^\tp x \leq \alpha }, \quad \Set{x \in
\R ^n}{a^\tp x \geq \alpha }
\] \[
\Set{x \in \R ^n}{a^\tp x < \alpha }, \quad \Set{x \in
\R ^n}{a^\tp x > \alpha }
\]